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 物理でよく使う数学知識 1

物理数学1

「関数」

 

こんにちは。

今日は物理を学んだり研究する上で重要とも言える数学の知識を書こうと思います。

関数と言えば中学校から始まる数学の単元でおなじみです。

それでは関数の公式とその用途を確認しましょう。

 

比例

 比例は多くの場面に登場します。

○公式

 f(x)=ax   a=平均変化率

○グラフ

f:id:gravity10:20160129172725p:plain

 ○用途

一定の変化をもつ平均変化率において増減することが特徴です。

上のグラフ(f(x)=x)を例とします。

1分間に1リットルの水が出る水道があるとします。

その水を空の容器にいれる。この関係が比例にあります。

2分後には2リットル、4分後は4リットルとなります。

よって平均変化率の公式に当てはめます。

f(x)=\frac{yの増加量}{xの増加量}

よって

f(x)=\frac{1}{1}x \longrightarrow y=1x \longrightarrow y=x

となります。

 空の容器がスタート地点となるので必ず原点を通ります。これは比例にしかない特徴です。

 

1次関数

1次関数は上記の比例の応用です。

○公式

 f(x)=ax+b+c a=平均変化率

 ○グラフ

f:id:gravity10:20160129175226p:plain

○用途

上のグラフ(f(x)=2x+2)にて

比例のスタート地点は空の容器でしたが、今回はすでに2リットルの水が入っています。そして水道からは1分間に2リットルの水がでます。

この場合、

f(x)=\frac{yの増加量}{xの増加量}x+y軸との切片(元から容器に入っている水の量)

よって

f(x)=\frac{2}{1}x+2 \longrightarrow y=2x+2

となる。

つまり比例の式をy軸方向やX軸方向ににずらしたものもなります。

実は、比例と1次関数を分けて書きましたが比例も1次関数なのです。

比例の1次関数での公式

f(x)=ax+0

となるのです。

 

2次関数

二次関数は放物線を利用したパラボラアンテナや、軌道計算にも使われています。

○公式

  f(x)=ax^2+bx+c

○グラフ

f:id:gravity10:20160129182150p:plain

○用途

パラボラアンテナの形も放物線の回転により得られる放物面である(パラボラ Parabola[英]=放物線)。放物面の形をした反射板は平行な光線(あるいは電波、その他の放射線)を焦点に集めるので、アンテナや太陽炉に使う凹面鏡の形として利用されており、発信の際にも、焦点に置いた点源の球面波>から平行な放射を得るために利用されています。

 

3次関数

○公式

 f(x)=ax^3+bx^2+c+d

○グラフ

f:id:gravity10:20160129184536p:plain

○用途

また三次関数が極大値と極小値を持つとき、変曲点は極大値と極小値の中点となる。極大値と「極小値における接線と三次関数自身との交点」、極大値と変曲点、極小値と変曲点、極小値と「極大値における接線と三次関数自身との交点」、のx座標の差はそれぞれ等しく、極大値と変曲点、極小値と変曲点、「極小値における接線と三次関数自身との交点」と変曲点、「極大値における接線と三次関数自身との交点」と変曲点、のy座標の差はそれぞれ等くなります。